Проблема одна. Искомый порт, к которому обращается сервер закрыт. Если ты не менял конфиг, то по умолчанию это 25565. Если у тебя интернет осуществляется через роутер или модем, то порты открываются в настройках роутера. Как правило, чтобы туда попасть нужно ввести в строке адреса 192.168.0.1 (или 1.1, 1.0, 0.0, у каждого по-разному). Ты увидишь вход в панель управления. Бывает требует логин и пароль. По умолчанию ставят Admin и password (это пароль), если ничего не меняли. Далее ищешь пункт Port Forwarding (Virtual Server, Виртуальный сервер, Переадресация портов, Перенаправление портов), там вводишь Server IP - твой локальный IP, Public Port и Private Port будет один и тот же: 25565. Протокол Both (Оба. Если нет, то ставишь отдельно для UDP, TCP). Сохраняешь.
Еще нужно либо выключить брандмауэр, либо добавить в список исключений данные порты. Идешь в доп. настройки и во входящий соединениях создаешь правило для порта 25565, все подключения. Сначала для UDP, потом для TCP. В итоге будет два правила.
Затем выключаешь все файрволлы, если таковы имеются. И уж потом добавляй порт в исключения в антивирусе. Либо вырубай антивирус к чертям. Затем проверяй, открылся ли порт.
Если не помогло, пробуй организовать DMZ зону. Убедись, что роутер*модем поддерживает UPnP и DMZ. Найди их в настройках и включи UPnP и IP-адрес хоста DMZ, прописываешь локальный (у меня это 192.168.0.99). Следующим твоим шагом будет прописывание IP в настройках подключения в центре управлениями сетями. Подкл. по локальной сети - Свойства - Протокол интернета версии 4 - выставляешь галку на использовать следующие IP, и вписываешь нужное в поля ниже. IP адрес тот, что прописывал в DMZ (у меня это 192.168.0.99). Маска должна появиться сразу. Обычно 255.255.255.0. Основной шлюз - тот адрес, который потребовался для входа в панель управления роутера. 192.168.0.1 (или 1.1, 1.0, 0.0). Потом ниже ставишь свои DNS сервера. Если их больше двух, то ставишь третий в Дополнительно - DNS - Добавить.
При этом убедись перед созданием DMZ, что твой IP белый и он совпадает с тем IP, что прописан в роутере/модеме. Если один из пунктов не выполнен, то DMZ не организовать. После создания DMZ, порты (любые) будут открываться по мере их необходимости. то етсь порт 25565 будет закрыт до тех пор, пока ты не запустишь сервер. Запустил? Вот только тогда порт откроется. Такой принцип DMZ.
Белый IP покупается у провайдера. Там же можно спросить про порты.

Если подключение проводное или еще какое-нибудь, то все просьбы только к провайдеру. Либо попытай удачу и пробуй отключать файрволы, брандмауэры и антивирусы, как я писал выше.

На счет программ, которые открывают порты. Все это, грубо говоря, фигня. Надо понимать, что такое компьютерный порт и осознавать свои действия. Если не понимаешь, что это такое и к чему может привести неправильное использование, то от программы будет больше неприятностей. Ибо не зря они все закрыты изначально.